Решать величайшие математические задачи было искусством. А потом пришёл ИИ

«Художники и музыканты уже через это прошли», — говорит Джасприт Сингх Сандху, математик из Университета штата Колорадо.

Вопреки впечатлению от школьных экзаменов на время, для математиков обычно важнее не получить правильный ответ как можно быстрее. Новые математические идеи часто рождаются в процессе, похожем на художественный поиск: это может напоминать создание игры или головоломки. Математики развивают идеи вдумчиво и постепенно. OpenAI же подошла к доказательству методом перебора, обойдя привычный процесс и поставив под угрозу человеческое понимание результата.

«Математик, как художник или поэт, создаёт узоры», — писал английский математик Г. Х. Харди в эссе «Апология математика» 1940 года. Художник работает с формами и цветами, поэт — со словами, а математик создаёт узоры из идей.

Харди был пацифистом и написал эссе во время Второй мировой войны, чтобы отстоять право заниматься математикой ради неё самой, независимо от практических применений — особенно военных. Он защищал «бесполезную» математику и приводил в пример часто цитируемое высказывание Карла Фридриха Гаусса о теории чисел — разделе математики, посвящённом целым числам. Харди считал её образцом красивой и бесполезной математики. Сравнение математики с искусством выдержало проверку временем, но в деталях Харди ошибся: спустя столетия теория чисел оказалась полезна для протоколов шифрования, которыми сегодня защищают электронную почту и банковские счета.

Пока что доказательство OpenAI и правда бесполезно в прикладном смысле: оно решает задачу, которая десятилетиями интересовала математиков сама по себе.

Название задачи происходит от уравнений Навье — Стокса. Учёные XIX века разработали их, чтобы описывать движение вязких жидкостей. Инженеры используют уравнения, например, для моделирования воздушных потоков при проектировании самолётов. Математиков же увлекли сами уравнения, а не их применение.

«Главный интерес математиков к этим уравнениям был связан вовсе не с инженерией», — говорит Джаред Спек, математик из Университета Вандербильта. По его словам, ответ искали из-за «математического богатства и самой головоломки». Решение не поможет спроектировать крыло самолёта с меньшим сопротивлением воздуха. Это похоже на выпечку: многие торты имеют цилиндрическую форму, но изучение уравнений цилиндра не обязательно поможет испечь торт получше.

«Когда задача не поддаётся решению, вокруг неё появляется своя легенда», — говорит Спек. Притягательность задачи Навье — Стокса похожа на увлечение судоку или шахматами: в них играют ради удовольствия и интеллектуальной нагрузки. Уравнения приблизительно описывают движение жидкости в нашем мире. Но математиков заинтересовало, как они могли бы работать в экстремальных, почти фантастических условиях. Они поставили вопрос: следует ли из уравнений, что в нереалистичной ситуации жидкость может взорваться без физической причины?

Математики ожидают, что приближённые уравнения вроде уравнений Навье — Стокса могут приводить к таким абсурдным сценариям. Именно это им и интересно: иногда такие странности подсказывают новые математические идеи. По словам Спека, исследователи годами создавали вокруг уравнений «глубокую и красивую теорию». Сообщество было близко к решению задачи, когда доказательство OpenAI показало: да, уравнения Навье — Стокса допускают фантастический взрыв жидкости.

Математики решают и практические задачи — например, разрабатывают новые протоколы шифрования или алгоритмы оптимизации для робототехники. Но, говорит Спек, сообщество в целом интересуется не только ответом «да» или «нет».

Есть и вопрос о том, насколько понятен сам результат. Создавая доказательства, люди выстраивают аргументы на основе предыдущих исследований и указывают на них ссылки. Они месяцами, а иногда годами оформляют и объясняют ход доказательства, чтобы убедить коллег в своих выводах. Это похоже на совместную работу над стихотворением, только вместо эмоций в ней участвует логика.

С доказательством OpenAI этого не произошло. Большие языковые модели ненадёжно указывают источники и не всегда способны понятно объяснить свою работу. Доказательство объёмом 166 страниц проходит рецензирование, и эксперты ещё не успели подтвердить его корректность. Математики также критикуют компанию за непрозрачность процесса. Тристан Бакмастер, математик из Нью-Йоркского университета, предположил, что OpenAI могла использовать его исследования и работы других учёных без должного указания авторства.

«Мы даже не знаем, насколько автономно всё происходило и сколько человеческой экспертизы потребовалось, чтобы направлять процесс», — говорит Сандху.

Из-за этого и других обстоятельств «в моём сообществе почти никто толком не понимает, что происходит», говорит Спек. По его словам, доказательство появилось в непривычном порядке: сначала компьютер выдал результат, а теперь люди пытаются разобраться, как он получен. «Мы только в самом начале этого пути».

Сандху подписал опубликованную в интернете декларацию «Серьёзное расхождение ИИ с интересами математики». В ней говорится, что массовое производство доказательств «может уничтожить плодородную почву вместо того, чтобы дать жизнь новым идеям». Первыми документ подписали 25 лауреатов Филдсовской премии, которую часто называют Нобелевской премией по математике. По словам Сандху, декларация не призывает отказаться от ИИ: он сам, как и многие математики, уже использует его в работе. Документ, поясняет Сандху, говорит о том, что «математическая культура ценит понимание», а скорость, с которой большие языковые модели проходят доказательства, может привести к тому, что «мы решим задачу, ничего не поняв».

В ответ на декларацию OpenAI на этой неделе сформировала консультативную группу математиков, которая будет помогать компании определять, как использовать ИИ. Представитель OpenAI в электронном письме заявил, что критика подчёркивает необходимость продуманного взаимодействия ИИ-компаний с математическим сообществом. По его словам, компания хочет, чтобы математики имели реальное влияние на то, как применяют ИИ.

Как бы ни использовали большие языковые модели, их скорость может мешать человеческому творчеству. Модели пока часто ошибаются, но способны выполнять длинные вычисления, которые математики считают утомительными. Передав все такие вычисления ИИ, исследователи могут упустить важные идеи, говорит Лоренцо Гавассино, физик-теоретик из Кембриджского университета в Великобритании. По его словам, самые значительные открытия могут появиться именно тогда, когда расчёт оказывается сложнее ожидаемого и начинает обескураживать. Такая борьба побуждает математиков изобретать новые понятия.

В качестве примера Гавассино приводит мнимую единицу i — квадратный корень из –1. Математики ввели её в XVI веке после нескольких поколений попыток решить кубические уравнения — выражения, содержащие член x³ и не содержащие степеней выше. Новое понятие положило начало отдельному разделу математики — комплексному анализу. Спустя столетия физики стали использовать мнимые числа в уравнениях квантовой механики. Теоремы математиков о i помогли им изучать электроны, атомы и, позднее, квантовые компьютеры.

Как и многие математические понятия, мнимая единица поначалу почти не имела практического применения. Польза математических идей часто раскрывается на протяжении нескольких поколений. Сначала математики долго прорабатывают их логику. Когда область накапливает достаточно глубокое понимание, люди находят применения, о которых создатели идеи не думали.

По словам Гавассино, математики говорят: «Хорошие математики доказывают теоремы, великие формулируют гипотезы, а величайшие дают определения». Он объясняет эту мысль через сравнение математики с игрой: хорошие математики выигрывают, великие предлагают способы выиграть, а величайшие придумывают саму игру. В случае задачи Навье — Стокса и других доказательств, полученных с помощью ИИ-систем, большая языковая модель показала, как выиграть. Но, считает Гавассино, до изобретения новых игр этой технологии ещё далеко.

Гавассино не боится, что большие языковые модели станут заниматься математикой лучше него. Он воспринимает их как ещё один инструмент, который пока надёжен примерно как «пьяный человек», и считает, что его можно применять ответственно и творчески. Но учёный опасается, что руководители могут использовать преувеличенные представления о возможностях ИИ в политических целях. Гавассино боится, что люди с недобрыми намерениями начнут утверждать: финансировать исследования больше не нужно, потому что открытия за учёных сделает ИИ.

На вычислительные ресурсы для создания доказательства OpenAI потратила миллионы долларов — сумму, сопоставимую с годовой зарплатой десятков академических математиков. За те же деньги можно было бы финансировать десятки аспирантов, каждый из которых мог бы найти новые творческие решения и поставить новые задачи.

Математическое сообщество давно опирается на отношения учителя и ученика, чтобы новые идеи устойчиво появлялись из поколения в поколение. «Когда я начинал, мне давали задачи, которые старшие коллеги, вероятно, могли решить проще или быстрее. Но они вкладывались в меня и давали мне возможность развиваться», — говорит Спек.

Теперь ИИ, похоже, способен забирать самые доступные математические задачи и тем самым лишать молодых исследователей работы, а студентов — возможности учиться. Это может перекрыть поток человеческого творчества, на котором выросла вся область и благодаря которому появились неожиданные достижения. По словам Гавассино, попытки ответить на большие вопросы заставляют создавать новые идеи, методы, стратегии и языки, которые затем оказываются полезны в других областях.

Именно этот творческий процесс когда-то привёл к появлению больших языковых моделей. Исследования дифференциальных уравнений и комплексного анализа помогли создать лазеры для нанесения рисунка на компьютерные чипы, где работают модели. Сами программы основаны на нейронных сетях, которые обрабатывают числа с помощью линейной алгебры — области математики, существующей как минимум с XVII века. ИИ-компании наращивали возможности моделей благодаря знаниям, накопленным поколениями людей.

Теперь, когда модели обучены, а компании стремятся к оценке в триллионы долларов, они могут растоптать сообщество, которое создало их продукт.